Фёдор Черенков родился 25 июля 1959 года в Московском районе Кунцево. Начал играть в футбол в команде районного ЖЭКа, где участвовал в турнире "Кожанный мяч".  Выступал на первенство города Москвы по мини-футболу, играя за среднюю школу № 811. На одной из игр его, вместе с двумя другими игроками, заметили селекционеры спортивного клуба «Кунцево», пригласившие их к себе. В «Кунцево» Федора Черенкова  два года тренировал Михаил Мухортов.

В 12 лет снялся в эпизоде детского фильма "Ни слова о футболе", где забивает гол «ножницами».

В 1971 году Мухортов направил Черенкова в футбольную школу Московского "Спартака" к тренеру Анатолию Масленкину. В СДЮШОР «Спартак» Черенков провёл шесть лет, выступая под руководством Маслёнкина, а затем Владимира Чернышова. В 1977 году окончил СДЮШОР "Спартак", на его выпускные игры приезжал руководитель команды Николай Старостин, который пригласил футболиста в дубль "красно-белых".

В «Спартак» Черенкова взял Константин Бесков, который в конце 1970-х годов занимался обновлением состава команды. С первых матчей Черенков зарекомендовал себя как яркий и незаурядный футболист, с отличной техникой и видением поля. Черенков быстро стал одним из ведущих игроков «Спартака», а после ухода из команды Юрия Гаврилова в 1985 году перенял у него роль ключевого организатора игры команды. На поле отличался редким комбинационным чутьём, точным и своевременным пасом, нестандартными действиями в атаке. Федор Федорович всегда говорил, что многому в футболе научился у Юрия Васильевича Гаврилова, считал его своим учителем и наставником. Игра Черенкова принесла ему признание и любовь болельщиков.

В 1990 году на полгода уехал играть в "Рел Стар" (Париж, Франция). Однако в команде не прижился и уже весной 1991 года снова играл за «Спартак». Сезон 1992 года пропустил, но сезон 1993 года отыграл почти полностью. Последний матч сыграл в возрасте 34 лет 105 дней — 7 ноября 1993 года против «Ростсельмаша» (3:0 дома).

23 августа 1994 года в Москве на стадионе «Динамо» был организован прощальный матч Черенкова, где соперником выступила итальянская "Парма". Генеральным спонсором прощального матча выступила компания МММ, подарив в перерыве матча Черенкову внедорожник Мицубиши Паджеро красно-белой расцветки.

Один из немногих игроков, которого уважали болельщики других клубов

С 1994 года — на тренерской работе в «Спартаке». В последние годы от тренерской деятельности отошёл, выступал в ветеранской команде "Торпедо" (Люберцы), играл за ветеранов "Спартака" на различных турнирах..

Становясь лучшим футболистом страны, Фёдор Черенков тем не менее не всегда привлекался в сборную СССР. В его активе всего 34 игры за сборную и 12 забитых мячей. Валерий Лобановский, бывший главным тренером сборной СССР в 1986—1990 годах, часто строил костяк сборной из игроков Киевского "Динамо", в рисунок игры которого игрок «Спартака», по мнению Лобановского, не всегда вписывался.

С весны 1984 года у Черенкова диагностировали психическое растройство, которое с тех пор обострялось весной и осенью, особенно по чётным годам, когда Черенков был вынужден ложиться на лечение. По воспоминаниям вратаря сборной СССР Вячеслава Чанова, первый приступ мании преследования у Черенкова произошёл в марте 1984 в Тбилиси перед ответным матчем 1/4Кубка УЕФА  1983/1984 года с "Андерлехтом" (0:1). Вследствие периодических вспышек болезни яркие сезоны приходились у Черенкова на нечётные годы — 1985, 1987, 1989 — и он не попал ни на один чемпионат мира и Европы.

В начале 2000-х годов Черенков дважды пытался покончить жизнь самоубийством, приняв большую дозу успокоительного в результате депресии. Врачи предположили, что это следствие частых микротравм головы, полученных при игре в футбол. В течение ряда лет периодически лечился стационарно в специализированных лечебных заведениях.

22 сентября 2014 года Черенков потерял сознание у своего подъезда по адресу улица Саморы Машела, д. 4, корп. 3. На машине скорой помощи он был доставлен в первую градскую больницу. Врачи диагностировали у Черенкова гипотонию неясного генеза. Смерть была констатирована в 7:48 утра 4 октября 2014 года, на 56-м году жизни, её предположительная причина — печоно - почечная недостаточность.

Гражданскую панихиду, состоявшуюся 7 октября в манеже в Сокольниках, посетили около 13,5 тысяч человек. Похоронен на Троекуровском кладбище Москвы, участок № 21.